Wat houdt de chaostheorie in?



Inleiding

Chaostheorie is een relatief nieuw gebied van natuurkundig onderzoek. Eeuwen lang hebben wetenschappers aangenomen dat wanneer je de beginvoorwaarden van een systeem met grote nauwkeurigheid weet, je ook het gedrag van dat systeem met grote nauwkeurigheid kan voorspellen. Rond het begin van de twintigste eeuw had de wiskundige Poincaré al ontdekt dat bepaalde mechanische systemen chaotisch gedrag vertoonden, maar het duurde tot ruim in de tweede helft van deze eeuw voordat fysici zich realiseerden dat chaos een belangrijke rol speelt.

Een systeem vertoont chaotisch gedrag wanneer het gedrag van het systeem op sterk afhankelijk is van de beginvoorwaarden. Indien het systeem twee maal vanuit bijna dezelfde positie zich ontwikkelt, zullen verschillen in het gedrag snel vermeerderen. Een chaotisch systeem gedraagt zich dus onvoorspelbaar, omdat de begintoestand nooit oneindig nauwkeurig gemeten kan worden.

De technische definitie van chaos is de volgende: we beschrijven de toestand van een systeem door middel van een positie in een faseruimte L. De tijdsevolutie van het systeem is te beschrijven als een baan van een punt door de faseruimte. Neem nu twee punten in deze faseruimte die correpsonderen met mogelijke toestanden van het systeem, en laat deze punten een infinitesimale afstand dx van elkaar af liggen. Wanneer de afstand in de faseruimte tussen de twee genoemde punten met de tijd exponentieel toeneemt, is er sprake van een chaotisch systeem.

Chaos in deterministische systemen

Deterministische systemen zijn systemen waarbij het gedrag op ieder punt in de toekomst te voorspellen valt, wanneer de begintoestand en de evolutieregels met oneindige precisie bekend zijn. Een eeuw geleden werd nog algemeen aangenomen dat ieder systeem deterministisch was, dat ieder systeem volgens vast omlijnde regels zou evolueren. Met de opkomst van de quantummechanica, waarin het kansbegrip een grote rol speelt, hebben veel fysici dit beeld laten varen, maar het is een feit dat veel systemen als deterministisch beschouwd kunnen worden. Quantumfluctuaties zullen nauwelijks invloed hebben op de beweging van een slinger, of de druppelsnelheid van water uit een vat.

Men zou denken dat wanneer een systeem deterministisch is, het niet alleen in theorie, maar ook in praktijk mogelijk is om nauwkeurige uitspraken te doen over de toekomst ervan. Immers, zo lijkt het, kleine onnauwkeurigheden in onze kennis van de begintoestand zullen ook maar een kleine invloed hebben op latere toestanden. Maar in chaotische systemen zal een kleine maar eindige onnauwkeurigheid over het algemeen rap groter worden.

Dat dit leidt tot onvoorspelbaarheid is gemakkelijk te zien. Een meetfout of andere onnauwkeurigheid Dx bij het bepalen van de toestand van een systeem zal in voorspellingen van het gedrag een steeds grotere rol gaan spelen, totdat het, na een afzienbare tijd, de voorspellingen onbruikbaar maakt.

De Chaostheorie houdt zich bezig met de eigenschappen van chaotische systemen, zoals maatstaven voor chaoticiteit en routes naar chaos. Deze theorie heeft vooral veel invloed gehad op de meteorologie en de vloeistofdynamica.

Wat zijn complexe getallen?

Iedereen kent 'gewone' getallen als 0, 3, -2, 3.45 en pi. Deze getallen noemt men 'reëel'. Maar wiskundigen, natuurkundigen en anderen gebruiken meer soorten getallen dan alleen reële.

Neem bijvoorbeeld de wortel. Men zegt vaak dat je van een negatief getal geen wortel kunt trekken: wortel 4 is 2 of -2, maar wortel -4 'bestaat niet'. We voeren nu een getal in dat we i noemen, en we stellen dat dit een goede oplossing is van de vergelijking x² = -1. Verder blijven alle normale rekenregels gelden. De wortel van -1 is nu gelijk aan i of -i, de wortel van -4 is gelijk aan 2i of -2i, etcetera.

Getallen die geschreven kunnen worden als een reëel getal maal i noemen we 'imaginair'.

We kunnen reële en imaginaire getallen natuurlijk ook optellen. Zo is 2+i een goed getal, en 3-4i ook. Alle getallen die we zo kunnen maken noemen we 'complexe' getallen. Hieronder vormen een paar voorbeelden van berekeningen met complexe getallen:

• i + 2i = 3i
• i * 2i = -2
• (3+i) * (2-i) = 6 - 3i + 2i + 1 = 7-i
• e^i*Pi = -1
• e^i*0.5*Pi = i

Complexe getallen zijn vaak heel handig bij berekeningen in bijvoorbeeld de natuurkunde, en ze worden door wetenschappers dan ook vaak gebruikt.

Kan je iets zinnigs zeggen over oneindige (natuurlijke) getallen?

Ja, dat kan. De beroemde wiskundige Cantor is begonnen met het opstellen van regels waarmee je met oneindige natuurlijke getallen kan rekenen. Dat is een complex onderwerp, dus ik beperk me hier tot een kleine inleiding. (Ook omdat ik er zelf niet ontzettend veel vanaf weet.)

Eerst moeten we verschil maken tussen kardinaalgetallen en ordinaalgetallen. Een kardinaalgetal is een getal dat het aantal elementen in een niet geordende verzameling aangeeft. Een ordinaalgetal is een getal dat het aantal elementen in een geordende set aangeeft. Voor eindige verzamelingen zijn deze dingen equivalent, dus normaal is het onderscheid totaal niet belangrijk.

Laten we de reeks van natuurlijke ordinaalgetallen bekijken: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... De limiet van de reeks noemen we omega. (Dit is een kleine letter; de hoofdletter omega staat ook voor iets, maar dat is veel groter.) Met deze omega kan je rekenen, maar er gelden niet helemaal dezelfde regels als voor eindige getallen. Stel dat we 1 + omega beschouwen. We weten dat twee geordende verzamelingen even groot zijn wanneer we deze een-op-een op elkaar kunnen afbeelden terwijl de volgorde behouden blijft. De geordende verzameling van even getallen is bijvoorbeeld even groot als de geordende verzameling van natuurlijke getallen, want er is de afbeelding 1->2, 2->4, 3->6, ... Nu gaan we kijken of 1 + omega even groot is als omega.

Neem een verzameling F met omega elementen, en een verzameling G met element Q + daarna alle elementen van F. F(n) is het n-de element van de verzameling F, G(n) het n-de element van G. Er is nu een orde-behoudende afbeelding van G op F: G(n) -> F(n). Immers: Q -> F(1), F(1) -> F(2), F(2) -> F(3), ... Dus: 1 + omega = omega.

Maar nu bekijken we een derde verzameling, H, die bestaat uit alle elementen van F en dan aan het einde element Q. Deze verzameling heeft grootte omega + 1. Het leuke is dat er nu geen orde-behoudende afbeelding op F is. Immers, H(n) -> F(n) klinkt heel leuk, maar deze ziet er als volgt uit: H(1) -> F(1), H(2) -> F(2), H(3) -> F(3)... Maar waar wordt H(omega+1), Q dus, nu op afgebeeld? Er is geen enkel element in F aan te wijzen waar Q op wordt afgebeeld. Er geldt dus: omega + 1 > omega = 1 + omega. Optellen is niet langer commutatief.

We kunnen nu fijn door gaan tellen vanaf omega: omega + 1, omega + 2, omega + 3, ... omega + omega = omega * 2. (Maar niet 2 * omega, want dat is gelijk aan omega.) Etcetera. En we zijn pas net begonnen. Na een tijdje krijg je het getal dat epsilon-nul genoemd wordt, wat de limiet is van omega^(omega^(omega^(...))). En eigenlijk ligt nog bijna elk getal voorbij epsilon-nul.

Nu de kardinaalgetallen. Het aantal elementen van |N, opgevat als niet geordende verzameling, noemen we Aleph-nul. Dit correspondeert met omega in zoverre dat een verzameling met ordinaalgroote omega, een kardinaalgrootte Aleph-nul heeft. Echter, omega + 1 heeft ook een kardinaalgrootte Aleph-nul, wat je gemakkelijk in kan zien. Voor kardinaalgetallen geldt immers niet dat de afbeelding tussen twee verzamelingen ordebehoudend moet zijn om ze even groot te laten zijn, zodat het niet kan uitmaken of je een nieuw element aan de voor- of aan de achterkant bij een verzameling met grootte omega voegt.

De kleinste verzameling die groter is - qua kardinaalgrootte - dan Aleph-nul heeft per definitie kardinaalgrootte Aleph-1. Nu is er heel lang gedacht over de zogenaamde continuïteitsstelling, die stelt dat |R kardinaliteit Aleph-1 heeft. Er zou dan dus geen verzameling zijn die qua grootte tussen |N en |R in lag. Na veel vruchteloze pogingen deze stelling te bewijzen of te ontkrachten is uiteindelijk gebleken dat de stelling niet bewezen kan worden uit de bestaande axioma's van de verzamelingenleer, en er ook niet mee in tegenspraak is. Zowel de continuïteitsstelling als zijn tegendeel kunnen als axioma worden toegevoegd aan de verzamelingenleer. Dat is eigenlijk best bizar, want dat betekent dat - binnen het standaardstelsel - de vraag of er een verzameling is die qua grootte tussen |N en |R in zit geen antwoord heeft!

Een leuk, redelijk populair maar niet te simpel boek over dit soort dingen is "Infinity and the Mind" van Rudy Rucker.

Kan iets sneller dan het licht reizen?

Hoewel niets ooit zeker is, heeft de hedendaagse natuurkunde hier een heel resoluut antwoord op: Nee, het is niet mogelijk om sneller dan het licht te reizen. De energie die nodig is om een object met massa met de lichtsnelheid te laten reizen is oneindig groot; het overschrijden van de lichtsnelheid is theoretisch helemaal onmogelijk.

De theorie waarin dit is uitgewerkt is de speciale relativiteitstheorie van Albert Einstein. Ongetwijfeld de bekendste formule uit de hele natuurkunde komt uit deze theorie: E = Mc², de rustenergie van een deeltje is gelijk aan de massa vermenigvuldigd met de lichtsnelheid in het kwadraat. Maar dit is slechts een speciaal geval van een algemener geldende formule: E = gMc². Gamma (g) is hierin een term die van de snelheid afhangt, en die bij stilstand gelijk is aan 1, waardoor de beroemde formule voor de rust energie uit de algemene formule volgt.

De formule voor gamma laat ons zien waarom een deeltje nooit sneller kan gaan dan het licht: g = 1 / (sqrt(1-v²/c²)). Hierin is c de lichtsnelheid en v de snelheid van het deeltje. Als v de lichtsnelheid nadert, wordt de waarde van gamma steeds groter, totdat deze bij v = c oneindig wordt. Via de formule voor de energie van een deeltje zien wij nu dat het deeltje oneindig veel energie heeft, en uit de wet van energiebehoud kunnen wij vervolgens concluderen dat het oneindig veel energie kost om een deeltje met massa tot de lichtsnelheid te versnellen.

Als wij v > c in de formule voor gamma invullen gaat het helemaal mis: wij moeten de wortel van een negatief getal nemen, en dat leidt niet tot een reële oplossing. Het is wel weer met complexe getallen op te lossen, en het antwoord dat hieruit komt rollen wordt ook wel de complexe massa genoemd, maar dit is meer een wiskundige kunstgreep dan een werkelijk bestaand iets.

Maar als het oneindig veel energie kost om met de lichtsnelheid te reizen, hoe kan licht zelf dan met de lichtsnelheid gaan? Het antwoord is simpel: fotonen (lichtdeeltjes) hebben geen massa. En deeltjes zonder massa kunnen zich wel degelijk met de lichtsnelheid voortbewegen. Zij moeten dat zelfs: een massaloos deeltje met v < c heeft geen energie en bestaat dus niet.

Wat zijn de hoofdwetten van de thermodynamica?

Inleiding

De wetten van de thermodynamica willen nog wel eens gebruikt worden in discussies over het ontstaan van het heelal, evolutie en creationisme. Daarbij horen zij tot de meest belangrijke wetten van de hele natuurkunde. In totaal zijn er 4 hoofdwetten, genaamd de nulde tot en met de derde wet. Wat zijn deze wetten?

De nulde wet: We kunnen een thermometer maken

De nulde wet, die pas in 1931 aan de hoofdwetten werd toegevoegd omdat iedereen hem tot die tijd als vanzelfsprekend had aangenomen, stelt in feite dat het mogelijk is om een thermometer te maken. Precies geformuleerd: Als een object A in thermisch evenwicht is met een object B, en object A is in thermisch evenwicht met object C, dan zijn ook B en C in thermisch evenwicht. Twee objecten zijn in thermisch evenwicht wanneer ze netto geen warmte aan elkaar afstaan: ze zijn dan even warm. Deze wet laat zien dat een thermometer altijd dezelfde toestand bereikt wanneer hij in contact wordt gebracht met verschillende voorwerpen met dezelfde temperatuur; was dit niet het geval dan kon temperatuur niet gemeten worden.

De eerste wet: Energie is behouden

Dit is een van de meest fundamentele natuurwetten: in geen enkele reactie wordt energie gemaakt of gaat energie verloren. Het enige wat plaats kan vinden zijn omzettingen van een bepaalde soort energie naar een andere: bijvoorbeeld van chemische energie naar kinetische energie of van massa naar thermische energie. Het is interessant om te vermelden dat deze wet alleen op macroscopische schaal absoluut geldig is: op quantumniveau laat Heisenberg's onzekerheidsprincipe toe dat energie kortstondig van het vacuüm wordt 'geleend'.

De tweede wet: Entropie neemt met de tijd altijd toe

De tweede wet van de thermodynamica, die velen als de belangrijkste zien, zegt dat de hoeveelheid entropie van een gesloten systeem altijd toeneemt. Een andere manier om dit te stellen is door te zeggen dat ieder systeem naar die toestand neigt waarin hij het meeste realisatiemogelijkheden heeft. Wat houdt dit in? Entropie is gedefinieerd als S = k ln Omega. Hierbij is k de constante van Boltzmann, en is Omega de 'multipliciteit', het aantal realisatiemogelijkheden, van het systeem. Stel je hebt een voorwerp van 10 atomen. Dit voorwerp bezit 1 energiequantum. Dan kan je dit op 10 verschillende manieren verdelen, en heeft het systeem een multipliciteit van 10. Als je twee energiequanta hebt kunnen deze op 55 manieren verdeeld worden, en is de entropie dus een factor ln(55) / ln(10) hoger. De tweede wet stelt nu dat het systeem 'liever' in de tweede dan in de eerste situatie zit.

Waar dit in de praktijk op neer komt is dat deeltjes zich regelmatig door de ruimte verspreiden, dat voorwerpen na een tijd met elkaar in contact te zijn geweest dezelfde temperatuur hebben en dat je knikkerverzameling na geschud te zijn zich waarschijnlijk niet heeft geordend op kleur.

De tweede wet van de thermodynamica is, hoewel het hier veel te ver gaat om dit af te leiden, geen fundamentele wet, maar een kanswet. Entropie kan best afnemen, maar de kans dat het gebeurt is vaak onwerkelijk klein. Zo zullen in een klein doosje vol lucht dat al een miljard maal zolang bestaat als het heelal naar alle waarschijnlijkheid nog nooit alle moleculen in een helft gezeten hebben.

De derde wet: Er is een absoluut nulpunt

Een systeem kan een multipliciteit 1 hebben: bijvoorbeeld tien atomen die geen energiequanta te verdelen hebben, kunnen hun energie maar op 1 manier verdelen: allemaal niets. In dit geval is de entropie, zoals hierboven gedefinieerd, 0. Dit punt, waar de entropie nul is, staat gelijk aan het absolute nulpunt, oftewel een temperatuur van 0 Kelvin. Een systeem kan alleen een lagere temperatuur krijgen door entropie te verliezen, dus een lagere temperatuur dan deze kan niet bestaan.

Hoe is het bestaan van geslachten en geslachtelijke voortplanting evolutionair te verklaren?

Het fundamentele verschil tussen mannetjes en vrouwetjes is dat mannetjes meer en kleinere geslachtscellen hebben dan vrouwtjes. In primitieve soorten waren er geen mannetjes en vrouwtjes, iedereen kon met iedereen paren. Deze soorten hebben geslachtscellen die 'isogameten' heten. Deze delen allebei evenveel mee aan de nakomeling. Bij sperma en eitjes is dat niet zo: het eitje investeert veel meer grondstoffen in de nakomeling dan de spermacel, omdat het eitje veel en veel groter is.

Deze asymmetrie kan voortkomen uit een isogamete soort. In een soort met isogameten zijn sommige geslachtscellen groter dan anderen, door toevallige mutaties. Deze gameten (geslachtscellen) hebben een grotere kans om levende nakomelingen te produceren, doordat zij meer voedsel meegeven. Daardoor zal er natuurlijke selectie plaatsvinden op individuen met grotere gameten.

Maar zodra de gameten groter worden dan noodzakelijk is, ontstaat er een mogelijkheid tot exploitatie. Individuen die meer kleinere gameten produceren kunnen van de grote gameten gebruik maken; doordat deze iets te groot zijn, kunnen nakomelingen nog steeds overleven ook al is zijn de gameten van de exploitanten eigenlijk te klein; en omdat de exploitanten veel meer gameten kunnen maken, krijgen zij netto meer nakomelingen. Op dit ogenblik ontstaan er 2 strategie-en. De ene is om zo klein mogelijke gameten te maken en individuen met grote gameten te exploiteren, de andere is om zo groot mogelijke gameten te maken zodat je nakomelingen zo veel mogelijk kans hebben om te overleven. Je kan laten zien dat deze twee strategieen evolutionair stabiel zijn. Dwz, geen andere strategie zou beter werken wanneer deze splitsing eenmaal was opgetreden. (Een soort point of no return.)

Maar waarom werken de individuen met grote gameten niet gewoon samen, tegen de exploitanten? Omdat de natuurlijke selectie op de exploitanten, de mannetjes, veel strenger is dan die op de vrouwtjes. Een mannetje die niet met een vrouwtje weet te mergen krijgt geen nageslacht (want mannetjes kunnen niet met elkaar mergen). Een vrouwtje die niet met een vrouwtje weet te mergen, maar met een mannetje, heeft alleen iets minder kans om nageslacht te krijgen. De evolutionaire druk op mannetjes is dus veel groter, en zij zullen effectievere strategieen ontwikkelen. Uiteindelijk leidt dit tot twee geslachten.

Mannetjes kunnen niet met elkaar paren omdat hun gecombineerde gameten niet genoeg voedsel bevatten voor de nakomeling om te groeien. Dus een mannelijke gameet moet met een vrouwelijke gameet paren. Voor een vrouwelijke gameet maakt het niet zo heel veel uit met wie ze paart, waardoor mannetjes een veel snellere evolutie doormaken in het ontwikkelen van truuks om vrouwtjes zo ver te krijgen dat ze met hen paren.

Back